Рациональные числа — определение, свойства, действия
Что такое рациональные числа
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, причём q ≠ 0. Название происходит от латинского слова ratio — отношение.
Примеры рациональных чисел: 1/2, −3/4, 7, −5, 0, 2.5 (= 5/2), 0.333... (= 1/3).
Все целые числа являются рациональными, потому что любое целое число n можно записать как n/1. Например, 7 = 7/1, −3 = −3/1.
Множество рациональных чисел обозначается буквой Q (от латинского quotient — частное). Оно включает в себя:
- Натуральные числа: 1, 2, 3, 4...
- Целые числа: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...
- Обыкновенные дроби: 1/2, 3/4, −2/5...
- Конечные десятичные дроби: 0.5, 1.25, −3.75...
- Бесконечные периодические дроби: 0.333..., 1.666...
Виды рациональных чисел
Положительные рациональные числа — больше нуля: 1/2, 3/4, 7, 2.5.
Отрицательные рациональные числа — меньше нуля: −1/2, −3/4, −7, −2.5.
Нуль — единственное рациональное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.
Правильные дроби — числитель меньше знаменателя по абсолютному значению: 1/2, 3/7, −2/5. Их абсолютная величина меньше 1.
Неправильные дроби — числитель больше или равен знаменателю: 7/3, 5/2, −8/3. Их можно представить как смешанные числа: 7/3 = 2 и 1/3.
Сравнение рациональных чисел
Чтобы сравнить два рациональных числа, приведи их к общему знаменателю и сравни числители. Правила сравнения:
- Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа
- Из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше: −1/4 > −3/4
- Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, приведи их к общему знаменателю
Пример: Сравнить 3/4 и 5/7.
НОК(4, 7) = 28. Приводим: 3/4 = 21/28, 5/7 = 20/28. Так как 21 > 20, то 3/4 > 5/7.
Сложение рациональных чисел
Чтобы сложить два рациональных числа, нужно привести их к общему знаменателю и сложить числители.
Правило: a/b + c/d = (a·d + c·b) / (b·d)
Если знаменатели одинаковые: a/b + c/b = (a + c) / b
Пример: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Подробнее с интерактивной симуляцией — в уроке Сложение рациональных чисел.
Вычитание рациональных чисел
Вычитание — это сложение с противоположным числом: a/b − c/d = a/b + (−c/d)
Алгоритм тот же, что и при сложении: находим НОК, приводим дроби, вычитаем числители.
Пример: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12
Подробнее — в уроке Вычитание рациональных чисел.
Умножение рациональных чисел
При умножении дробей умножаются числители и знаменатели отдельно:
Правило: a/b · c/d = (a·c) / (b·d)
Пример: 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2
Перед умножением удобно сократить дроби — это упрощает вычисления. Например: 2/3 · 3/4 = (2·3)/(3·4) — можно сократить 3 и получить 2/4 = 1/2.
Деление рациональных чисел
Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:
Правило: a/b ÷ c/d = a/b · d/c = (a·d) / (b·c)
Пример: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6
Обратная дробь для c/d — это d/c. Например, обратная для 3/4 — это 4/3.
Свойства рациональных чисел
Рациональные числа обладают следующими свойствами при сложении и умножении:
Коммутативность: a + b = b + a и a · b = b · a
Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c) и (a · b) · c = a · (b · c)
Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c
Нейтральные элементы: при сложении — 0, при умножении — 1
Противоположные числа: для любого a существует −a такое что a + (−a) = 0
Обратные числа: для любого a ≠ 0 существует 1/a такое что a · (1/a) = 1
Рациональные числа на координатной прямой
Каждому рациональному числу соответствует точка на координатной прямой. Положительные числа расположены правее нуля, отрицательные — левее.
Расстояние от нуля до точки называется модулем (абсолютной величиной) числа: |3/4| = 3/4, |−3/4| = 3/4.
Рациональные числа в задачах ОГЭ
В ОГЭ по математике задачи с рациональными числами встречаются в нескольких форматах:
- Вычисление выражений с дробями (задания 1-3)
- Сравнение дробей (задание 4)
- Задачи на дроби от числа (задания 10-12)
- Уравнения с дробными коэффициентами (задания 15-16)
Типичная задача ОГЭ: Вычислить −3/4 + 1/6.
Решение: НОК(4, 6) = 12. −3/4 = −9/12, 1/6 = 2/12. −9/12 + 2/12 = −7/12.
Частые ошибки при работе с рациональными числами
Ошибка 1: Складывать знаменатели при сложении дробей.
- ❌ 1/3 + 1/4 = 2/7
- ✓ 1/3 + 1/4 = 7/12
Ошибка 2: Забывать про знак при умножении отрицательных чисел.
- ❌ (−2/3) · (−3/4) = −1/2
- ✓ (−2/3) · (−3/4) = +1/2
Ошибка 3: Делить дроби неправильно — переворачивать первую дробь вместо второй.
- ❌ 2/3 ÷ 4/5 = 3/2 · 4/5
- ✓ 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 · 5/4
Ошибка 4: Не сокращать результат.
- ❌ Ответ: 6/12
- ✓ Ответ: 1/2
Связь с другими темами
Рациональные числа — фундамент всей алгебры. Они используются в:
- Алгебраических выражениях — при упрощении дробных выражений
- Уравнениях — при решении уравнений с дробными коэффициентами
- Функциях — при построении графиков с дробными значениями
- Геометрии — при вычислении площадей и объёмов
- Вероятности — вероятность события всегда рациональное число от 0 до 1
Практические задачи
Реши самостоятельно:
- 2/3 + 3/4 = ?
- 5/6 − 2/9 = ?
- 3/4 · 8/9 = ?
- 2/5 ÷ 4/15 = ?
- −1/2 + 3/4 − 1/6 = ?