Линейная функция

Линейная функция

Линейная функция — функция вида:

y = kx + b

где k и b — числа, k ≠ 0.

• k — угловой коэффициент (наклон прямой)
• b — свободный член (сдвиг по оси Y)

Свойства

Свойство 1: График — прямая линия.

Свойство 2: При k > 0 функция возрастает.

Свойство 3: При k < 0 функция убывает.

Свойство 4: График пересекает ось Y в точке (0; b).

Свойство 5: График пересекает ось X в точке (−b/k; 0).

Построение графика

Для построения прямой нужны две точки:

Точка 1: Подставить x = 0: получим точку (0; b) — пересечение с осью Y.

Точка 2: Подставить любое удобное x.

Пример: y = 2x + 1

Точка 1: x = 0 → y = 1. Точка (0; 1)

Точка 2: x = 2 → y = 5. Точка (2; 5)

Проводим прямую через (0; 1) и (2; 5).

Пример: y = −x + 3

Нахождение нулей функции

Нуль функции — значение x, при котором y = 0.

Для y = kx + b:

kx + b = 0 → x = −b/k

Пример: y = 3x − 6

3x − 6 = 0 → x = 6/3 = 2

Нахождение k и b по графику

Если известны две точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂):

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

b = y₁ − k·x₁

Пример

Прямая проходит через (1; 3) и (3; 7):

k = (7 − 3) / (3 − 1) = 4/2 = 2

b = 3 − 2·1 = 1

Уравнение: y = 2x + 1

Параллельные прямые

Две прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, если k₁ = k₂ (одинаковый наклон).

Пример: y = 3x + 1 и y = 3x − 4 параллельны (k = 3 у обеих).

Прямая пропорциональность — частный случай

При b = 0: y = kx — прямая пропорциональность.

Она проходит через начало координат (0; 0).